Þann 23. maí sl. lést einn af merk­ustu vís­inda­mönnum síð­ustu ald­ar, John For­bes Nash, rétt tæp­lega 87 ára að aldri í bílslysi. Einnig lést kona hans, Alicia. Nash var ekki ein­ungis þekktur innan fræða­heims­ins því að kvik­mynd sem kom út árið 2001 og var byggð á ævi hans, A Beauti­ful Mind, naut mik­illa vin­sælda á sínum tíma. Myndin var að nokkru byggð á sam­nefndri ævi­sögu Nash eftir Syl­viu Nasar sem kom út árið 1998. Bókin var frá­bært verk og veitti ein­staka inn­sýn í líf manns sem var óum­deil­an­lega snill­ingur og náði að afreka meira en flestir aðrir vís­inda­menn þótt hann hafi háð afar erf­iða glímu við geð­sjúk­dóm sem svipti hann megn­inu af starfsæv­inni.

Af þessu til­efni er hér end­ur­birt grein um fram­lag John Nash til leikja­fræð­innar sem birt­ist í viku­rit­inu Vís­bend­ingu 29. mars 2002. Greinin er hér fyrir neð­an. Hún er að stofni til óbreytt en smá­vægi­legar við­bætur eru merktar með horn­klof­um.

Um þessar mundir er senni­lega óhætt að full­yrða að fræg­asti hag­fræð­ingur heims sé Banda­ríkja­mað­ur­inn John For­bes Nash. Það er vel af sér vikið af manni sem ekki er hag­fræð­ingur og hefur ekki unnið innan fræða­sviðs­ins í nær hálfa öld.

Nash fékk Nóbels­verð­launin í hag­fræði árið 1994. Þótt eftir því hafi verið tekið á sínum tíma þá á hann nú frægð sína sér­stak­lega að þakka kvik­mynd­inni A Beauti­ful Mind sem fjallar um líf hans. Myndin hefur fengið afar góða aðsókn og fékk m.a. Ósk­arsverð­laun sem besta kvik­mynd­in. Þótt kvik­myndin sé ekki mjög áreið­an­leg heim­ild þá gerir hún ævi Nash þokka­leg skil og þó einkum afar erf­iðri bar­áttu hans við geð­veiki.

Þegar sá sem þetta ritar nam leikja­fræði sem hluta af dokt­ors­námi í hag­fræði í upp­hafi tíunda ára­tug­ar­ins var, líkt og nú, vart hægt að finna eina ein­ustu grein í fræð­unum þar sem ekki var minnst á Nash. Oft­ast þótti þó ekki taka því að vitna í greinar hans. Það var nóg að minn­ast á hug­tök hans, einkum jafn­vægið sem við hann er kennt, Nash jafn­vægi. Það þurfti engra skýr­inga við, svo vel var hug­takið þekkt. Ef vitnað var í Nash voru tíndar til greinar frá því í kringum 1950. Það var því ekki skrýtið þótt ungir nem­endur í leikja­fræði á þessum tíma teldu að Nash væri löngu lát­inn. Til­kynn­ing Nóbels­nefnd­ar­innar árið 1994 um að hann væri ekki bara sprell­lif­andi heldur ætti hann von á Nóbels­verð­laun­unum í hag­fræði kom því eins og þruma úr heið­skíru lofti.

Leikir Nóbels­nefndar

Ákvörð­unin um að veita Nash verð­launin var ekki auð­veld. Leikja­fræð­ingar höfðu aldrei fengið Nóbels­verð­laun í hag­fræði áður og ýmsir settu það fyrir sig að þessi fræði­grein væri ekki nógu merki­leg til að veita verð­launin fyrir fram­lag til henn­ar. Aðrir töldu að þótt fræði­greinin væri góð og gild þá væri hún sjálf­stæð grein og merkt fram­lag til hennar væri ekki endi­lega merkt fram­lag til hag­fræði. Aðr­ir, og þeir virð­ast hafa verið fleiri, vildu ekki veita Nash verð­launin vegna veik­inda hans, vildu ekki veita manni sem barist hafði við geð­veiki ára­tugum saman Nóbels­verð­laun þótt hann sýndi tals­verð bata­merki.

Þegar Nash hafði fengið verð­launin og með honum tveir aðrir leikja­fræð­ing­ar, Rein­hard Sel­ten og John C. Harsanyi, varð þó ekki aftur snú­ið. Síðan hafa Nóbels­verð­launin í hag­fræði [þrí­veg­is] verið veitt fyrir fram­lag til leikja­fræði eða notkun henn­ar. Fyrst árið 1996, þegar þeir James A. Mirr­lees og William Vickrey fengu þau og aftur [2001], þegar George Akerlof, Mich­ael Spence og Jos­eph Stigl­itz fengu verð­launin [og loks 2005, þegar Robert J. Aumann og Thomas C. Schell­ing fengu þau].

Með verð­laun­unum 1996 og [2001] und­ir­strik­aði Nóbels­nefndin nyt­semi leikja­fræði. Í báðum til­fellum voru vís­inda­menn heiðraðir sem hafa kom­ist að afar hag­nýtum nið­ur­stöð­um. Rann­sóknir þeirra Mirr­lees og Vickrey hafa til dæmis verið not­aðar við gerð bæði skatt- og launa­kerfa. Rann­sóknir Vickrey og spor­göngu­manna hans á upp­boðum hafa fleytt fram skiln­ingi á eðli þeirra og verið not­aðar víða, t.d. við sölu á leyfum til að nýta fjar­skiptar­ás­ir. Árang­ur­inn af þeim upp­boðum var jafn­vel ef eitt­hvað er of góður fyrir selj­end­ur. Kaup­endur fjar­skiptarásanna end­uðu margir hverjir á því að kaupa á að því er virð­ist allt of háu verði. Akerlof, Spence og Stigl­itz fengu verð­launin fyrir rann­sóknir á mörk­uðum þar sem upp­lýs­ingar eru ósam­hverfar en með því er átt að kaup­endur og selj­endur vita mis­mikið um það sem gengur kaupum og sölu. Hug­myndir þeirra félaga og ann­arra sem skoðað hafa slíka mark­aði með tólum leikja­fræði hafa m.a. verið not­aðar með ágætum árangri á sviði trygg­inga­við­skipta. [Aumann og Schell­ing fengu verð­launin fyrir að auka skiln­ing manna á eðli átaka og sam­vinnu á grunni leikja­fræð­i.]

Stærð­fræð­ingur í hópi hag­fræð­inga

Þótt Nash hafi fengið Nóbels­verð­laun í hag­fræði er hann eng­inn hag­fræð­ing­ur, hann er fyrst og fremst stærð­fræð­ing­ur. Hann hefur tekið eitt háskóla­nám­skeið í hag­fræði á ævinni, nám­skeið í alþjóða­hag­fræði við Carnegie Tech. háskóla, sem heitir nú Carnegie Mellon. Kenn­ar­inn var land­flótta Aust­ur­rík­is­mað­ur, Bert Hos­elitz. Við Carnegie lagði Nash stund á efna­verk­fræði og hann skráði sig í hag­fræði­nám­skeiðið af nauð­syn frekar en áhuga. Dokt­ors­nám hans í Princeton var síðan í stærð­fræði.

Nash hefur sagt að þetta hag­fræði­nám­skeið hjá Hos­elitz hafi verið kveikjan að því að hann fór að velta fyrir sér leikja­fræði. Fyrsta fram­lag hans til fræð­anna fjall­aði um samn­inga þar sem þráttað er um skipt­ingu á til­tek­inni upp­hæð á milli samn­ings­að­ila.^[1] Þetta er vita­skuld ævafornt álita­mál en Francis Y. Edgeworth var fyrstur til að reyna að greina það form­lega með tólum og tækjum hag­fræð­innar í bók sem hann birti 1881.^[2] Síðan höfðu margir spreytt sig á því en með nær engum árangri. Nálgun Nash var frum­leg og ein­föld og ágætt fram­lag til fræð­anna. Hann lýsti ýmsum eig­in­leikum sem lausn á slíkum leik hlyti að hafa, nán­ast for­sendum þess að lausn hefði fund­ist og leiddi út frá þessu til­tekna skipt­ingu.

Nash jafn­vægi

Þetta sama ár, 1950, birti Nash líka grein sem hann skrif­aði með öðrum um póker. Merkasta fram­lag Nash þetta ár var þó fólgið í dokt­ors­rit­gerð hans. Nash lauk dokt­ors­prófi frá Princeton árið 1950, ein­ungis tæp­lega 22 ára gam­all. Rit­gerðin fjall­aði um sam­keppni­leiki (e. non-cooper­ative games) og þar er m.a. að finna fram­setn­ingu hans á Nash jafn­vægi. Helstu nið­ur­stöðu rit­gerð­ar­innar birti hann einnig það sama ár í grein.^[3] Greinin er ekki nema tvær blað­síður enda er hug­myndin um Nash jafn­vægi afar ein­föld, raunar er hægt að lýsa henni í fáeinum orð­um:

Það er jafn­vægi í leik þegar sér­hver þátt­tak­andi hefur tekið þá ákvörðun sem best þjónar hags­munum hans í ljósi ákvarð­ana allra ann­arra þátt­tak­enda.

Ári síðar birti hann nið­ur­stöður dokt­ors­rit­gerð­ar­innar í ýtar­legri tíma­rits­grein.^[4] Árið 1953 birti Nash tvær greinar um leiki með tveimur kepp­end­um, m.a. um tví­k­eppni á mark­aði,^[5] og ári síðar bók­arkafla um nokkra leiki með fleiri þátt­tak­end­um.^[6] Hann skrif­aði einnig fjöl­margar greinar um stærð­fræði bæði fyrir og eftir þetta en áhugi hans á fræði­legri leikja­fræði hafði greini­lega dvín­að.

https://www.youtu­be.com/watch?v=ZY9tZyu­eZj4

Jafn­væg­is­hug­tak Nash mun án efa halda nafni hans á lofti um ókomna tíð. Það er einn af horn­steinum leikja­fræð­innar og mikið af rann­sóknum síð­ari ára hefur snú­ist um að þróa útgáfur af því fyrir ýmsar aðstæð­ur. Þannig er eitt helsta fram­lag Rein­hard Sel­ten til leikja­fræði að þróa útgáfu af Nash jafn­vægi fyrir leiki sem hægt er að skipta niður í marga smærri leiki eða und­ir­leiki. Lausn Sel­tens er kölluð á ensku subgame per­fect Nash equili­bria og felst í því að úti­loka Nash jafn­vægi í til­teknum leik ef þau eru ekki einnig Nash jafn­vægi fyrir alla und­ir­leik­ina. Þetta þýðir m.a. að nú skipta ekki lengur máli í leik hót­anir sem aug­ljóst má þykja að ekki verður staðið við. Lausn Sel­tens skýrir líka ágæt­lega hvers vegna stundum getur verið skyn­sam­legt að brenna brýr að baki sér. Sel­ten deildi Nóbels­verð­laun­unum með Nash eins og fyrr seg­ir. Sá þriðji, sem deildi verð­launum með Nash og Sel­ten, Harsanyi þró­aði útgáfu af Nash jafn­vægi fyrir leiki þar sem þátt­tak­endur þekkja ekki eðli og mark­mið hvers ann­ars full­kom­lega.

Sam­keppni eða sam­vinna

Nash var fyrstur til að skipta leikjum í ann­ars vegar sam­keppni­leiki og hins vegar sam­vinnu­leiki (e. non-cooper­ative og cooper­ati­ve). Í sam­keppni­leikjum fara hags­munir þátt­tak­enda ekki saman og þeir semja ekki sín á milli um nið­ur­stöð­una. Í sam­vinnu­leikjum getur verið svig­rúm til að semja um nið­ur­stöðu. Nash taldi eðli­legt að grein­ing á sam­vinnu­leikjum byggði á grein­ingu á sam­keppni­leikj­um, þ.e. að samn­ingar sam­vinnu­leikja yrðu skoð­aðir sem sam­keppni­leik­ir. Oft er rætt um áætlun Nash (e. Nash Program) af þessu til­efni og er þá átt við kerf­is­bundnar til­raunir til að greina sam­vinnu­leiki út frá þekk­ingu á sam­keppni­leikj­um.

Skipt­ing leikja í sam­vinnu­leiki og sam­keppni­leiki var stórt skref fram á við og hjálp­aði til við að beina sjónum manna frá svoköll­uðum núll-summu­leikjum. Í núll-summu­leikjum er ávinn­ingur eins ávallt ann­ars tap. Í því riti sem öðrum fremur bjó til grunn­inn að leikja­fræði sem fræði­grein, bók John von Neu­mann og Oskar Morg­en­stern The­ory of Games and Economic Behavior frá 1944 er nær ein­göngu fjallað um núll-summu­leiki. Þegar aðrir leikir eru greindir í því riti er þeim fyrst breytt í núll-summu­leiki með því að bæta við einum þátt­tak­anda. Von Neu­mann var stærð­fræð­ingur og á þessum tíma einn fræg­asti vís­inda­maður Banda­ríkj­anna, það var helst að Ein­stein og Opp­en­heimer væru betur þekkt­ir. Von Neu­mann var pró­fessor við Princeton og vera hans þar ýtti án efa undir áhuga nem­enda eins og Nash á leikja­fræði.

Í núll-summu­leikjum er aug­ljós­lega ekk­ert svig­rúm til samn­inga. Áherslan á þá í bernsku leikja­fræð­innar var slæm að því leyti að hún gat orðið til þess að menn gleymdu því að yfir­leitt er hægt að skapa verð­mæti með samn­ing­um. Raunar er það almenna reglan í frjálsum við­skiptum að allir hagn­ast á þeim. Samn­ings­að­ilar telja sig a.m.k. hagn­ast miðað við þá vit­neskju sem þeir hafa, ann­ars sjá þeir sér ekki hag í að semja. Hug­myndin um að eins gróði sé ætíð ann­ars tap í við­skiptum hefur þó reynst afar lífseig. Bæði hér­lendis og erlendis er þessu enn af og til haldið fram í opin­berri umræðu í fullri alvöru, jafn­vel af vel mennt­uðu fólki. Þó er hálf öld síðan að Nash og aðrir fræði­menn í leikja­fræði átt­uðu sig á mætti samn­inga og sam­vinnu­leikja til að skapa verð­mæti en ekki bara skipta þeim.

John Nash og Adam Smith

Verð­mæta­sköpun við­skipta hefur þó blasað við miklu leng­ur. Meira en tvær aldir eru síðan Adam Smith kynnti til sög­unnar hina huldu hönd mark­að­ar­ins sem á að sjá til þess að til­raunir hvers og eins til að skara eld að sinni köku þjóni best hags­munum heild­ar­inn­ar. Þótt nið­ur­staða Nash um sam­vinnu­leiki byggi á afli þeirra til verð­mæta­sköp­unar er þó ekki algilt að til­raunir hvers og eins til að vernda hags­muni sína, hvort heldur er í leikjum eða við­skipt­um, leiði til þess að hags­munir heild­ar­innar séu hámark­að­ir. Það er eitt af því sem sjá má með því að greina Nash jafn­vægi við ýmsar kring­um­stæð­ur. Fræg­asta dæmið er hið svo­kall­aða vanda­mál fang­ans þar sem tveir glæpa­menn sjá sér báðir en sitt í hvoru lagi hag í að vinna með yfir­völdum að því að upp­lýsa glæp sem þeir hafa framið, þótt þeir hefðu báðir sloppið betur ef hvor­ugur hefði verið sam­vinnu­þýður í yfir­heyrsl­um. Vanda­mál fang­ans er vita­skuld bara til­búið dæmi, búið til í fíla­beinsturni til að útskýra fræði­legt fyr­ir­brigði.^[7] Engu að síður er það óum­deil­an­legt að nið­ur­staða leiks eða hags­muna­bar­áttu almennt þar sem hver ein­stakur berst eins og best hann getur fyrir hags­munum sínum getur hæg­lega verið slæm fyrir heild­ina. Nash jafn­vægi þarf því ekki að vera Par­eto kjör­staða.  Með því er átt við að það getur verið svig­rúm til að breyta nið­ur­stöð­unni þannig að a.m.k. sumir verði betur settir og eng­inn verði verr settur vegna breyt­ing­ar­inn­ar.

Þessi nið­ur­staða Nash sýnir að fyrr­greind hug­mynd Adam Smith um hina huldu hönd mark­að­ar­ins er ekki alveg skot­held. Það breytir því þó auð­vitað ekki að frjáls við­skipti á mark­aði eru undir flestum kring­um­stæðum langöflug­asta tæki til verð­mæta­sköp­unar sem til er. Hin hulda hönd er afl­mikil þótt ekki sé hún óbrigðul.

^[1]The Barga­in­ing Problem, Econometrica, vol. 18 (1950), bls. 155-62.

^[2]Mathemat­ical Psychics: An Essay on the App­lication of Mathemat­ics to the Moral Sci­ences. London (1881), C. Kegan Paul.

^[3]Equili­brium points in n-per­son games. Proceed­ings of the National Academy of Sci­ences vol. 36 (1950), bls. 48-9.

^[4]Non-Cooper­ative Games. Annals of Mathemat­ics, vol. 54 (1951), bls. 286-95.

^[5]Two-Per­son Cooper­ative Games. Econometrica, vol. 21 (1953), bls. 405-21 og A Compari­son of Treat­ments of a Duopoly Situ­ation, Econometrica, vol. 21 (1953), bls. 141-54 (með Mayberry og Shubik).

^[6]Some Experimental N-Per­son Games (með Kalisch, Mil­nor og Ner­ing). Decision Processes, rit­stýrt af Thrall o.fl. New York, John Wiley & Sons (1954).

^[7]Tveir vís­inda­menn við RAND fundu upp dæm­ið, sög­unni um fang­ana var bætt við síðar af Al Tucker, sam­tíma­manni Nash við Princeton.

 

Höf­undur er dós­ent við við­skipta- og hag­fræði­deild Háskóla Íslands og doktor í hag­fræði frá Yale-há­skóla.