Ekki eru öll meðaltöl eins

Eiríkur Ragnarsson fjallar um meðaltöl en hann bendir á að ekki séu allir sáttir við þau og að sumir leiti að meðaltölum sem henti hverju sinni.

Auglýsing

Með­al­töl eru allt í kringum okk­ur. Á ráð­stefn­um, í ræð­um, á þingi og í rétt­ar­söl­um. Sér­fræð­ingar bera þau um í skjala­töskum og vista þau á ferða­tölvum til að grípa í þegar þeir þurfa að sann­færa hina van­trú­uðu. Ef með­al­tölin sem sér­fræð­ingar reikna fara gegn þeirra hags­mun­um, hug­mynda­fræði eða hags­munum kúnna þeirra, þá leita þeir að öðrum með­al­töl­um, sem ríma bet­ur. Ekki eru allir þó eins sáttir við með­al­töl, og hafa þó nokkrir bent rétti­lega á það að þau séu víst óæt.

Um dag­inn fór ég í volgt bað. Það var um það bil 40 gráð­ur. Þar var hin nota­leg­asta upp­lif­un. Ég hefði getað tekið jafn heitt bað, að með­al­tali, með því að fara tvisvar í bað: Fyrst með núll gráðu og svo 80 gráðu heitu vatni. Helsti ókost­ur­inn er sá að ég myndi eflaust ekki lifa slíka bað­ferð af. Slíkt með­al­tal, þegar tölur er lagðar saman og deilt með fjölda þeirra, kall­ast „hreint með­al­tal“ (e. arit­h­metic mean). Þetta er það með­al­tal sem er algeng­ast að sjá í fórum okkur sér­fræð­ing­anna.

Mynd: Eikonomics

Auglýsing

Það er ein­falt að reikna hreint með­al­tal. Í dæm­inu að ofan er það reiknað með því að leggja saman allar töl­urnar og deila með fjölda þeirra: (10 + 20 + 40 + 40 + 80) / 5 = 38

En svo er til annað með­al­tal: Geó­metrískt með­al­tal (e. geometric mean). Þetta með­al­tal er oft gagn­legt. Til að mynda þegar hag­tölur eru rædd­ar, sér­stak­lega þá í pró­sentu­breyt­ingum á milli ára. Til að mynda, ef við gefum okkur að töl­urnar í dæm­inu að ofan (10, 20, 40, 40 og 80) sé lands­fram­leiðsla fimm ár í röð. Þá myndu hag­fræð­ingar reikna hag­vöxt milli ára sem: 100%, 100%, 0%, 100%. Hreint með­al­tal gæfi þá í skyn að meðal hag­vöxtur yfir þetta fjög­urra ára tíma­bil hafi verið 75%.

Geó­metrískt með­al­tal er svo sem ekk­ert flókn­ara að reikna (með hjálp tölvu) en hið hreina. Eina sem þarf að gera er að marg­falda saman allar þær tölur sem mynda með­al­talið; telja þær; deila einum með fjölda þeirra; og setja summ­una í það veldi. Ef þess­ari aðferð er beitt á hag­vaxta­töl­urnar að ofan, þá fáum við það út að geó­metrískta með­al­talið hag­vext­inum hafi verið 68%.

En hvenær rétt sé að not­ast við hvaða með­al­tal er oft ekki aug­ljóst. Oft­ast not­ast sér­fræð­ingar við hrein með­al­töl, af því ein­falt er að útskýra þau. En stundum getur það verið mis­tök. Eitt dæmi er ef við ætlum að spá fyrir um hver lands­fram­leiðslan verði á síð­asta árinu í dæm­inu að ofan. Ef við tökum fyrsta árið og marg­földum það með hreina með­al­tal­inu (75%), marg­földum svo þá tölu með með­al­tal­inu og svo koll af kolli, þá endum við með lands­fram­leiðsla upp á 94 síð­asta árið. 14 krónum hærri en hún raun­veru­lega var (í þessu dæmi). Þessi mis­tök ger­ast ekki ef geó­metríska með­al­talið (68%) er not­að. Ef sama útreikn­ingi er beitt, með geó­metrísku með­al­tali í stað þess hreina, þá endum við á sama stað og raun­veru­leik­inn.

Mynd: Eikonomics

Hvorug aðferðin skilar réttu svari á milli­bils­ár­un­um, en aðeins útreikn­ing­ur­inn með geó­metrísku með­al­tali skilar réttri nið­ur­stöðu síð­asta árið í dæm­inu.

En með­al­tölin sjálf eru ekki bara mis­mun­andi heldur eru skamm­staf­an­irnar sem sér­fræð­ingar nota mis­mun­andi milli stétta. Stærð­fræð­ingar nota almennt bók­staf­inn x með striki (x̄) sem skamm­stöfun fyrir með­al­tal. Töl­fræð­ingar gera það reyndar líka, en bara þegar þeir reikna með­al­tal fyrir úrtak úr þýði. Þegar þeir reikna með­al­tal fyrir allt þýðið not­ast þeir við gríska staf­inn mjú (µ). Það er að segja svo lengi sem þeir séu ekki Þjóð­verj­ar.

Þýska orðið yfir með­al­tal er Durchsnitt (í. gegn­um-­klippa). Því nota Þjóð­verjar frekar danska staf­inn Ø. Sem er algjör snilld – línan á Ø fer nefni­lega beint í gegnum miðjan hring­inn. Þessi skamm­stöfun Þjóð­verja (sem er mikið betri en eitt­hvað x með striki eða mjú), getur þó ruglað óþýska stærð­fræð­inga, þar sem stærð­fræð­ingar nota bók­staf­inn Ø yfir­leitt sem skamm­stöfun fyrir tómt mengi.

Það er vissu­lega rétt að með­al­töl eru ekki mat­ur. En ef, einn dag­inn, ein­hver finnur leið til þess að útbúa mat úr þeim, þá mæli ég með því að þeir not­ist við hrein með­al­töl. Það er eftir allt aldrei minna en geó­metrískt með­al­tal.

Kanntu vel við Kjarnann?

Frjáls framlög lesenda eru mikilvægur þáttur í rekstri Kjarnans. Þau gera okkur kleift að halda áfram að taka þátt í umræðunni á vitrænan hátt og greina kjarnann frá hisminu fyrir lesendur. 

Kjarninn er fjölmiðill sem leggur sig fram við að upplýsa og skýra út það sem á sér stað í samfélaginu með áherslu á gæði og dýpt. 

Okkar tryggð er aðeins við lesendur. Við erum skuldbundin ykkur og værum þakklát ef þið vilduð vera með í að gera Kjarnann enn sterkari. 

Ef þú kannt vel við það efni sem þú lest á Kjarnanum viljum við hvetja þig til að styrkja okkur. Þinn styrkur er okkar styrkur.

Já takk, ég vil styrkja Kjarnann!
Vilja fjölga farþegum í innanlandsflugi um fimmtung
Stjórnvöld ætla sér að bæta grundvöll innanlandsflug hér á landi og er markmiðið að fjöldi farþega með innanlandsflugi verði 440 þúsund árið 2024 en það er rúmlega 70.000 fleiri farþegar en árið 2018.
Kjarninn 22. október 2019
Páll Gunnar Pálsson, forstjóri Samkeppniseftirlitsins.
Samkeppniseftirlitið segir að nýtt frumvarp muni rýra kjör almennings
Samkeppniseftirlitið segir að nýtt frumvarp, sem meðal annars fellir niður heimild þess til að skjóta málum til dómstóla, valda miklum vonbrigðum. Það mun leggjast gegn samþykkt þess.
Kjarninn 22. október 2019
Eiríkur Ragnarsson
Ekki draga tennurnar úr Samkeppniseftirlitinu
Kjarninn 22. október 2019
Bjarni Benediktsson,fjármála- og efnahagsráðherra.
Skýrsla um tilkomu Íslands á gráa listann væntanleg
Dómsmálaráðherra og fjármálaráðherra ætla að kynna skýrslu um aðdraganda þess að Íslandi var sett á gráa lista FAFT og hvernig stjórnvöld ætli að koma landinu af listanum.
Kjarninn 22. október 2019
Kvikan
Kvikan
Aðlögun kaþólsku kirkjunnar, peningaþvætti á Íslandi og vandræði Deutsche Bank
Kjarninn 22. október 2019
Gylfi Magnússon, dósent í viðskiptafræði og formaður bankaráðs Seðlabanka Íslands
„Þægilegra fyrir fákeppnismógúla landsins að þessi bankaráðsformaður segði sem minnst“
Gylfi Magnússon, formaður bankaráðs Seðlabankans, svarar ummælum Halldórs Benjamíns Þorbergssonar, framkvæmdastjóra SA, um að viðbrögð Gylfa hafi ekki sæmt stöðu hans.
Kjarninn 22. október 2019
Sighvatur Björgvinsson
Álitshnekkir – hvað annað?
Kjarninn 22. október 2019
Samtal við samfélagið – English
Samtal við samfélagið – English
Samtal við samfélagið – Climate Strikes and Societal Responsibility
Kjarninn 22. október 2019
Meira úr sama flokkiEikonomics