Ekki eru öll meðaltöl eins

Eiríkur Ragnarsson fjallar um meðaltöl en hann bendir á að ekki séu allir sáttir við þau og að sumir leiti að meðaltölum sem henti hverju sinni.

Auglýsing

Með­al­töl eru allt í kringum okk­ur. Á ráð­stefn­um, í ræð­um, á þingi og í rétt­ar­söl­um. Sér­fræð­ingar bera þau um í skjala­töskum og vista þau á ferða­tölvum til að grípa í þegar þeir þurfa að sann­færa hina van­trú­uðu. Ef með­al­tölin sem sér­fræð­ingar reikna fara gegn þeirra hags­mun­um, hug­mynda­fræði eða hags­munum kúnna þeirra, þá leita þeir að öðrum með­al­töl­um, sem ríma bet­ur. Ekki eru allir þó eins sáttir við með­al­töl, og hafa þó nokkrir bent rétti­lega á það að þau séu víst óæt.

Um dag­inn fór ég í volgt bað. Það var um það bil 40 gráð­ur. Þar var hin nota­leg­asta upp­lif­un. Ég hefði getað tekið jafn heitt bað, að með­al­tali, með því að fara tvisvar í bað: Fyrst með núll gráðu og svo 80 gráðu heitu vatni. Helsti ókost­ur­inn er sá að ég myndi eflaust ekki lifa slíka bað­ferð af. Slíkt með­al­tal, þegar tölur er lagðar saman og deilt með fjölda þeirra, kall­ast „hreint með­al­tal“ (e. arit­h­metic mean). Þetta er það með­al­tal sem er algeng­ast að sjá í fórum okkur sér­fræð­ing­anna.

Mynd: Eikonomics

Auglýsing

Það er ein­falt að reikna hreint með­al­tal. Í dæm­inu að ofan er það reiknað með því að leggja saman allar töl­urnar og deila með fjölda þeirra: (10 + 20 + 40 + 40 + 80) / 5 = 38

En svo er til annað með­al­tal: Geó­metrískt með­al­tal (e. geometric mean). Þetta með­al­tal er oft gagn­legt. Til að mynda þegar hag­tölur eru rædd­ar, sér­stak­lega þá í pró­sentu­breyt­ingum á milli ára. Til að mynda, ef við gefum okkur að töl­urnar í dæm­inu að ofan (10, 20, 40, 40 og 80) sé lands­fram­leiðsla fimm ár í röð. Þá myndu hag­fræð­ingar reikna hag­vöxt milli ára sem: 100%, 100%, 0%, 100%. Hreint með­al­tal gæfi þá í skyn að meðal hag­vöxtur yfir þetta fjög­urra ára tíma­bil hafi verið 75%.

Geó­metrískt með­al­tal er svo sem ekk­ert flókn­ara að reikna (með hjálp tölvu) en hið hreina. Eina sem þarf að gera er að marg­falda saman allar þær tölur sem mynda með­al­talið; telja þær; deila einum með fjölda þeirra; og setja summ­una í það veldi. Ef þess­ari aðferð er beitt á hag­vaxta­töl­urnar að ofan, þá fáum við það út að geó­metrískta með­al­talið hag­vext­inum hafi verið 68%.

En hvenær rétt sé að not­ast við hvaða með­al­tal er oft ekki aug­ljóst. Oft­ast not­ast sér­fræð­ingar við hrein með­al­töl, af því ein­falt er að útskýra þau. En stundum getur það verið mis­tök. Eitt dæmi er ef við ætlum að spá fyrir um hver lands­fram­leiðslan verði á síð­asta árinu í dæm­inu að ofan. Ef við tökum fyrsta árið og marg­földum það með hreina með­al­tal­inu (75%), marg­földum svo þá tölu með með­al­tal­inu og svo koll af kolli, þá endum við með lands­fram­leiðsla upp á 94 síð­asta árið. 14 krónum hærri en hún raun­veru­lega var (í þessu dæmi). Þessi mis­tök ger­ast ekki ef geó­metríska með­al­talið (68%) er not­að. Ef sama útreikn­ingi er beitt, með geó­metrísku með­al­tali í stað þess hreina, þá endum við á sama stað og raun­veru­leik­inn.

Mynd: Eikonomics

Hvorug aðferðin skilar réttu svari á milli­bils­ár­un­um, en aðeins útreikn­ing­ur­inn með geó­metrísku með­al­tali skilar réttri nið­ur­stöðu síð­asta árið í dæm­inu.

En með­al­tölin sjálf eru ekki bara mis­mun­andi heldur eru skamm­staf­an­irnar sem sér­fræð­ingar nota mis­mun­andi milli stétta. Stærð­fræð­ingar nota almennt bók­staf­inn x með striki (x̄) sem skamm­stöfun fyrir með­al­tal. Töl­fræð­ingar gera það reyndar líka, en bara þegar þeir reikna með­al­tal fyrir úrtak úr þýði. Þegar þeir reikna með­al­tal fyrir allt þýðið not­ast þeir við gríska staf­inn mjú (µ). Það er að segja svo lengi sem þeir séu ekki Þjóð­verj­ar.

Þýska orðið yfir með­al­tal er Durchsnitt (í. gegn­um-­klippa). Því nota Þjóð­verjar frekar danska staf­inn Ø. Sem er algjör snilld – línan á Ø fer nefni­lega beint í gegnum miðjan hring­inn. Þessi skamm­stöfun Þjóð­verja (sem er mikið betri en eitt­hvað x með striki eða mjú), getur þó ruglað óþýska stærð­fræð­inga, þar sem stærð­fræð­ingar nota bók­staf­inn Ø yfir­leitt sem skamm­stöfun fyrir tómt mengi.

Það er vissu­lega rétt að með­al­töl eru ekki mat­ur. En ef, einn dag­inn, ein­hver finnur leið til þess að útbúa mat úr þeim, þá mæli ég með því að þeir not­ist við hrein með­al­töl. Það er eftir allt aldrei minna en geó­metrískt með­al­tal.

Í upphafi árs 2020

Við á Kjarnanum göngum bjartsýn og einbeitt inn í nýtt ár og þökkum lesendum fyrir það traust sem þeir sýna með því að styrkja Kjarnann. 

Frjáls framlög frá lesendum hafa vaxið jafnt og þétt síðustu árin og eru mikilvæg tekjustoð undir reksturinn. Þau gera okkur kleift að halda áfram að taka þátt í umræðunni og greina kjarnann frá hisminu. 

Við tökum hlutverk okkar sem fjölmiðill í þjónustu almennings alvarlega. Kjarninn birti 409 fréttaskýringar og 2.367 fréttir á árinu 2019. Kjarninn er vettvangur umræðu og á nýliðnu ári voru 539 skoðanagreinar birtar, stærstur hluti þeirra aðsendar greinar. 

Okkar tryggð er aðeins við lesendur. Við erum skuldbundin ykkur og værum þakklát ef þið vilduð vera með í að gera Kjarnann enn sterkari.

Já takk, ég vil styrkja Kjarnann!
„Lúalegt bragð“ að ala á samviskubiti foreldra
Kvenréttindafélag Íslands hefur sent borgarráði opið bréf vegna fyrirhugaðrar styttingar opnunartíma leikskóla í Reykjavíkurborg.
Kjarninn 21. janúar 2020
Þorgerður spyr Katrínu um hverjar skaðabótakröfur stórútgerðarinnar séu
Búið er að leggja fram skriflega fyrirspurn til forsætisráðherra um hversu háa upphæð stórútgerðir eru að krefja íslenska ríkið vegna úthlutunar á makrílkvóta. Kjarninn óskaði fyrst eftir þeim upplýsingum í fyrrasumar en ríkið vill ekki afhenda þær.
Kjarninn 21. janúar 2020
Rúmur hálfur milljarður í utanlandsferðir þingmanna og forseta þingsins á tíu árum
Rúmar 60 milljónir fóru í utanlandsferðir embættis forseta Alþingis og þingmanna árið 2018. Kostnaðurinn var minnstur árið 2009 – rétt eftir hrun.
Kjarninn 21. janúar 2020
Ólafur Örn Nielsen ráðinn aðstoðarforstjóri Opinna kerfa
Nýir fjárfestar komu að Opnum kerfum í fyrra og hana nú ráðið bæði nýjan forstjóra og aðstoðarforstjóra.
Kjarninn 21. janúar 2020
Auður ríkustu konu Afríku byggður á arðráni fátækrar þjóðar
Frá Angóla og víða um Afríku, Evrópu og Mið-Austurlönd, liggur flókið net fjárfestinga í bönkum, olíu, sementi, fjarskiptum, fjölmiðlum og demöntum. Ríkasta kona Afríku segist hafa byggt þetta ævintýralega viðskiptaveldi sitt upp á eigin verðleikum.
Kjarninn 21. janúar 2020
Kvikan
Kvikan
#Megxit, peningaþvætti, spilling og brot Seðlabankans
Kjarninn 21. janúar 2020
Þorgerður Katrín Gunnarsdóttir er formaður Viðreisnar. Hún er fyrsti flutningsmaður frumvarpsins.
Mælt fyrir frumvarpi sem kúvendir fiskveiðistjórnunarkerfinu
Frumvarp þriggja stjórnarandstöðuflokka um eðlisbreytingu á því umhverfi sem sjávarútvegsfyrirtæki starfa í hérlendis, verður tekið til umræðu á þingi í dag samkvæmt fyrirliggjandi dagskrá.
Kjarninn 21. janúar 2020
Stuðningskonur leikskólanna
Kynjað verðmætamat og leikskólinn
Kjarninn 21. janúar 2020
Meira úr sama flokkiEikonomics