Ekki eru öll meðaltöl eins

Eiríkur Ragnarsson fjallar um meðaltöl en hann bendir á að ekki séu allir sáttir við þau og að sumir leiti að meðaltölum sem henti hverju sinni.

Auglýsing

Með­al­töl eru allt í kringum okk­ur. Á ráð­stefn­um, í ræð­um, á þingi og í rétt­ar­söl­um. Sér­fræð­ingar bera þau um í skjala­töskum og vista þau á ferða­tölvum til að grípa í þegar þeir þurfa að sann­færa hina van­trú­uðu. Ef með­al­tölin sem sér­fræð­ingar reikna fara gegn þeirra hags­mun­um, hug­mynda­fræði eða hags­munum kúnna þeirra, þá leita þeir að öðrum með­al­töl­um, sem ríma bet­ur. Ekki eru allir þó eins sáttir við með­al­töl, og hafa þó nokkrir bent rétti­lega á það að þau séu víst óæt.

Um dag­inn fór ég í volgt bað. Það var um það bil 40 gráð­ur. Þar var hin nota­leg­asta upp­lif­un. Ég hefði getað tekið jafn heitt bað, að með­al­tali, með því að fara tvisvar í bað: Fyrst með núll gráðu og svo 80 gráðu heitu vatni. Helsti ókost­ur­inn er sá að ég myndi eflaust ekki lifa slíka bað­ferð af. Slíkt með­al­tal, þegar tölur er lagðar saman og deilt með fjölda þeirra, kall­ast „hreint með­al­tal“ (e. arit­h­metic mean). Þetta er það með­al­tal sem er algeng­ast að sjá í fórum okkur sér­fræð­ing­anna.

Mynd: Eikonomics

Auglýsing

Það er ein­falt að reikna hreint með­al­tal. Í dæm­inu að ofan er það reiknað með því að leggja saman allar töl­urnar og deila með fjölda þeirra: (10 + 20 + 40 + 40 + 80) / 5 = 38

En svo er til annað með­al­tal: Geó­metrískt með­al­tal (e. geometric mean). Þetta með­al­tal er oft gagn­legt. Til að mynda þegar hag­tölur eru rædd­ar, sér­stak­lega þá í pró­sentu­breyt­ingum á milli ára. Til að mynda, ef við gefum okkur að töl­urnar í dæm­inu að ofan (10, 20, 40, 40 og 80) sé lands­fram­leiðsla fimm ár í röð. Þá myndu hag­fræð­ingar reikna hag­vöxt milli ára sem: 100%, 100%, 0%, 100%. Hreint með­al­tal gæfi þá í skyn að meðal hag­vöxtur yfir þetta fjög­urra ára tíma­bil hafi verið 75%.

Geó­metrískt með­al­tal er svo sem ekk­ert flókn­ara að reikna (með hjálp tölvu) en hið hreina. Eina sem þarf að gera er að marg­falda saman allar þær tölur sem mynda með­al­talið; telja þær; deila einum með fjölda þeirra; og setja summ­una í það veldi. Ef þess­ari aðferð er beitt á hag­vaxta­töl­urnar að ofan, þá fáum við það út að geó­metrískta með­al­talið hag­vext­inum hafi verið 68%.

En hvenær rétt sé að not­ast við hvaða með­al­tal er oft ekki aug­ljóst. Oft­ast not­ast sér­fræð­ingar við hrein með­al­töl, af því ein­falt er að útskýra þau. En stundum getur það verið mis­tök. Eitt dæmi er ef við ætlum að spá fyrir um hver lands­fram­leiðslan verði á síð­asta árinu í dæm­inu að ofan. Ef við tökum fyrsta árið og marg­földum það með hreina með­al­tal­inu (75%), marg­földum svo þá tölu með með­al­tal­inu og svo koll af kolli, þá endum við með lands­fram­leiðsla upp á 94 síð­asta árið. 14 krónum hærri en hún raun­veru­lega var (í þessu dæmi). Þessi mis­tök ger­ast ekki ef geó­metríska með­al­talið (68%) er not­að. Ef sama útreikn­ingi er beitt, með geó­metrísku með­al­tali í stað þess hreina, þá endum við á sama stað og raun­veru­leik­inn.

Mynd: Eikonomics

Hvorug aðferðin skilar réttu svari á milli­bils­ár­un­um, en aðeins útreikn­ing­ur­inn með geó­metrísku með­al­tali skilar réttri nið­ur­stöðu síð­asta árið í dæm­inu.

En með­al­tölin sjálf eru ekki bara mis­mun­andi heldur eru skamm­staf­an­irnar sem sér­fræð­ingar nota mis­mun­andi milli stétta. Stærð­fræð­ingar nota almennt bók­staf­inn x með striki (x̄) sem skamm­stöfun fyrir með­al­tal. Töl­fræð­ingar gera það reyndar líka, en bara þegar þeir reikna með­al­tal fyrir úrtak úr þýði. Þegar þeir reikna með­al­tal fyrir allt þýðið not­ast þeir við gríska staf­inn mjú (µ). Það er að segja svo lengi sem þeir séu ekki Þjóð­verj­ar.

Þýska orðið yfir með­al­tal er Durchsnitt (í. gegn­um-­klippa). Því nota Þjóð­verjar frekar danska staf­inn Ø. Sem er algjör snilld – línan á Ø fer nefni­lega beint í gegnum miðjan hring­inn. Þessi skamm­stöfun Þjóð­verja (sem er mikið betri en eitt­hvað x með striki eða mjú), getur þó ruglað óþýska stærð­fræð­inga, þar sem stærð­fræð­ingar nota bók­staf­inn Ø yfir­leitt sem skamm­stöfun fyrir tómt mengi.

Það er vissu­lega rétt að með­al­töl eru ekki mat­ur. En ef, einn dag­inn, ein­hver finnur leið til þess að útbúa mat úr þeim, þá mæli ég með því að þeir not­ist við hrein með­al­töl. Það er eftir allt aldrei minna en geó­metrískt með­al­tal.

Skiptir Kjarninn þig máli?

Kjarninn reiðir sig á framlög lesenda. Með því að styrkja Kjarnann mánaðarlega tekur þú þátt í að halda úti öflugum fjölmiðli.

Við erum til staðar fyrir lesendur og fjöllum um það sem skiptir máli.

Ef Kjarninn skiptir þig máli þá máttu endilega vera með okkur í liði.

Já takk, ég vil styrkja Kjarnann!
Á Fossvogsbletti 2 stendur einbýlishús og geymsluhúsnæði.
Borgin steig inn í 140 milljóna fasteignakaup í Fossvogsdal
Borgarráð Reykjavíkurborgar samþykkti á dögunum að nýta forkaupsrétt sinn að fasteignum á Fossvogsbletti 2. Fjárfestingafélag ætlaði að kaupa eignina á 140 milljónir og gengur borgin inn í þau viðskipti.
Kjarninn 27. júní 2022
Sífellt fleiri notendur kjósa að nálgast sjónvarpsþjónustu í gegnum aðrar leiðir en með leigu á myndlykli.
Enn dregst leiga á myndlyklum saman en tekjur vegna sjónvarps halda áfram að aukast
Tekjur fjarskiptafyrirtækja vegna sjónvarpsþjónustu hafa rokið upp á síðustu árum. Þær voru 3,8 milljarðar króna á árinu 2017 en 14,9 milljarðar króna í fyrra. Þorri nýrra tekna í fyrra var vegna sjónvarpsþjónustu.
Kjarninn 27. júní 2022
Hagstofan býst við að hagvöxtur verði enn kröftugri en spáð var í lok vetrar
Hagstofan býst við því að hagvöxtur verði 5,1 prósent á árinu og 2,9 prósent á næsta ári, samkvæmt nýrri þjóðhagsspá. Búist er við því að um 1,6 milljónir ferðamanna sæki landið heim í ár, en fyrri spá gerði ráð fyrir 1,4 milljónum ferðamanna.
Kjarninn 27. júní 2022
Þórdís Kolbrún Reykfjörð Gylfadóttir er utanríkisráðherra.
Telja að upplýsingar um fjölda sérstakra vegabréfa geti skaðað tengsl við önnur ríki
Utanríkisráðuneytið vill ekki segja hversu mörg sérstök vegabréf það hefur gefið út til útlendinga á grundvelli nýlegrar reglugerðar. Það telur ekki hægt að útiloka neikvæð viðbrögð ótilgreindra erlendra stjórnvalda ef þau frétta af vegabréfaútgáfunni.
Kjarninn 27. júní 2022
Bjarni Benediktsson, fjármála- og efnahagsráðherra og formaður Sjálfstæðisflokksins.
Fjármálaráðuneytið segist ekki hafa yfirlit yfir fjársópseignirnar sem seldar voru leynilega
Fjármála- og efnahagsráðuneytið segist ekki hafa komið að ákvörðunum um ráðstöfun eigna sem féllu íslenska ríkinu í skaut vegna stöðugleikasamninga við kröfuhafa föllnu bankanna.
Kjarninn 27. júní 2022
Frá brautarpalli við aðallestarstöðina í þýsku borginni Speyer. Ef til vill hafa einhverjir þessara farþega nýtt sér níu evru miðann.
Aðgangur að almenningssamgöngum í heilan mánuð fyrir níu evrur
Níu evru miðinn gildir í allar svæðisbundnar samgöngur í Þýskalandi til loka ágústmánaðar. Þetta samgönguátak er hluti af aðgerðapakka stjórnvalda vegna vaxandi verðbólgu og hækkandi orkuverðs en er einnig ætlað að stuðla að umhverfisvænni ferðavenjum.
Kjarninn 26. júní 2022
Steingrímur J. Sigfússon hætti á þingi í fyrrahaust. Síðan þá hefur hann verið skipaður til að leiða tvo hópa á vegum ríkisstjórnarinnar.
Steingrímur J., Óli Björn og Eygló skipuð í stýrihóp til að endurskoða örorkukerfið
Fyrrverandi formaður Vinstri grænna, þingmaður Sjálfstæðisflokks, fyrrverandi félagsmálaráðherra og aðstoðarmaður ríkisstjórnarinnar mynda stýrihóp sem á að endurskoða örorkulífeyriskerfið. Hópurinn á að skila af sér eftir tvö ár. Ingu Sæland er óglatt.
Kjarninn 26. júní 2022
Örn Bárður Jónsson
Veðurfræðingar án framtíðar!
Kjarninn 26. júní 2022
Meira úr sama flokkiEikonomics