Ekki eru öll meðaltöl eins

Eiríkur Ragnarsson fjallar um meðaltöl en hann bendir á að ekki séu allir sáttir við þau og að sumir leiti að meðaltölum sem henti hverju sinni.

Auglýsing

Með­al­töl eru allt í kringum okk­ur. Á ráð­stefn­um, í ræð­um, á þingi og í rétt­ar­söl­um. Sér­fræð­ingar bera þau um í skjala­töskum og vista þau á ferða­tölvum til að grípa í þegar þeir þurfa að sann­færa hina van­trú­uðu. Ef með­al­tölin sem sér­fræð­ingar reikna fara gegn þeirra hags­mun­um, hug­mynda­fræði eða hags­munum kúnna þeirra, þá leita þeir að öðrum með­al­töl­um, sem ríma bet­ur. Ekki eru allir þó eins sáttir við með­al­töl, og hafa þó nokkrir bent rétti­lega á það að þau séu víst óæt.

Um dag­inn fór ég í volgt bað. Það var um það bil 40 gráð­ur. Þar var hin nota­leg­asta upp­lif­un. Ég hefði getað tekið jafn heitt bað, að með­al­tali, með því að fara tvisvar í bað: Fyrst með núll gráðu og svo 80 gráðu heitu vatni. Helsti ókost­ur­inn er sá að ég myndi eflaust ekki lifa slíka bað­ferð af. Slíkt með­al­tal, þegar tölur er lagðar saman og deilt með fjölda þeirra, kall­ast „hreint með­al­tal“ (e. arit­h­metic mean). Þetta er það með­al­tal sem er algeng­ast að sjá í fórum okkur sér­fræð­ing­anna.

Mynd: Eikonomics

Auglýsing

Það er ein­falt að reikna hreint með­al­tal. Í dæm­inu að ofan er það reiknað með því að leggja saman allar töl­urnar og deila með fjölda þeirra: (10 + 20 + 40 + 40 + 80) / 5 = 38

En svo er til annað með­al­tal: Geó­metrískt með­al­tal (e. geometric mean). Þetta með­al­tal er oft gagn­legt. Til að mynda þegar hag­tölur eru rædd­ar, sér­stak­lega þá í pró­sentu­breyt­ingum á milli ára. Til að mynda, ef við gefum okkur að töl­urnar í dæm­inu að ofan (10, 20, 40, 40 og 80) sé lands­fram­leiðsla fimm ár í röð. Þá myndu hag­fræð­ingar reikna hag­vöxt milli ára sem: 100%, 100%, 0%, 100%. Hreint með­al­tal gæfi þá í skyn að meðal hag­vöxtur yfir þetta fjög­urra ára tíma­bil hafi verið 75%.

Geó­metrískt með­al­tal er svo sem ekk­ert flókn­ara að reikna (með hjálp tölvu) en hið hreina. Eina sem þarf að gera er að marg­falda saman allar þær tölur sem mynda með­al­talið; telja þær; deila einum með fjölda þeirra; og setja summ­una í það veldi. Ef þess­ari aðferð er beitt á hag­vaxta­töl­urnar að ofan, þá fáum við það út að geó­metrískta með­al­talið hag­vext­inum hafi verið 68%.

En hvenær rétt sé að not­ast við hvaða með­al­tal er oft ekki aug­ljóst. Oft­ast not­ast sér­fræð­ingar við hrein með­al­töl, af því ein­falt er að útskýra þau. En stundum getur það verið mis­tök. Eitt dæmi er ef við ætlum að spá fyrir um hver lands­fram­leiðslan verði á síð­asta árinu í dæm­inu að ofan. Ef við tökum fyrsta árið og marg­földum það með hreina með­al­tal­inu (75%), marg­földum svo þá tölu með með­al­tal­inu og svo koll af kolli, þá endum við með lands­fram­leiðsla upp á 94 síð­asta árið. 14 krónum hærri en hún raun­veru­lega var (í þessu dæmi). Þessi mis­tök ger­ast ekki ef geó­metríska með­al­talið (68%) er not­að. Ef sama útreikn­ingi er beitt, með geó­metrísku með­al­tali í stað þess hreina, þá endum við á sama stað og raun­veru­leik­inn.

Mynd: Eikonomics

Hvorug aðferðin skilar réttu svari á milli­bils­ár­un­um, en aðeins útreikn­ing­ur­inn með geó­metrísku með­al­tali skilar réttri nið­ur­stöðu síð­asta árið í dæm­inu.

En með­al­tölin sjálf eru ekki bara mis­mun­andi heldur eru skamm­staf­an­irnar sem sér­fræð­ingar nota mis­mun­andi milli stétta. Stærð­fræð­ingar nota almennt bók­staf­inn x með striki (x̄) sem skamm­stöfun fyrir með­al­tal. Töl­fræð­ingar gera það reyndar líka, en bara þegar þeir reikna með­al­tal fyrir úrtak úr þýði. Þegar þeir reikna með­al­tal fyrir allt þýðið not­ast þeir við gríska staf­inn mjú (µ). Það er að segja svo lengi sem þeir séu ekki Þjóð­verj­ar.

Þýska orðið yfir með­al­tal er Durchsnitt (í. gegn­um-­klippa). Því nota Þjóð­verjar frekar danska staf­inn Ø. Sem er algjör snilld – línan á Ø fer nefni­lega beint í gegnum miðjan hring­inn. Þessi skamm­stöfun Þjóð­verja (sem er mikið betri en eitt­hvað x með striki eða mjú), getur þó ruglað óþýska stærð­fræð­inga, þar sem stærð­fræð­ingar nota bók­staf­inn Ø yfir­leitt sem skamm­stöfun fyrir tómt mengi.

Það er vissu­lega rétt að með­al­töl eru ekki mat­ur. En ef, einn dag­inn, ein­hver finnur leið til þess að útbúa mat úr þeim, þá mæli ég með því að þeir not­ist við hrein með­al­töl. Það er eftir allt aldrei minna en geó­metrískt með­al­tal.

Ert þú í Kjarnasamfélaginu?

Kjarninn er opinn vefur en líflínan okkar eru frjáls framlög frá lesendum, Kjarnasamfélagið. Sú stoð undir reksturinn er okkur afar mikilvæg.

Með því að skrá þig í Kjarnasamfélagið gerir þú okkur kleift að halda áfram að vinna í þágu almennings og birta vandaðar fréttaskýringar, djúpar greiningar á efnahagsmálum og annað fréttatengt gæðaefni. 

Kjarninn hefur verið til taks fyrir kröfuharða lesendur undanfarin sjö ár og við ætlum okkur að standa vaktina áfram. 

Fyrir þá sem nú þegar eru stoltir styrkjendur Kjarnans þá leyfum við okkur að benda á að hægt er að óska eftir að hækka mánaðarlega framlagið með því að senda póst á takk@kjarninn.is


Já takk, ég vil styrkja Kjarnann!
Kristján Þór Júlíusson, sjávarútvegs- og landbúnaðarráðherra.
Kvótaþak óbreytt í tillögum – sem og hvað aðilar þurfi að eiga hvor í öðrum til að teljast tengdir
Lokaskýrsla verkefnastjórnar um bætt eftirlit með fiskveiðiauðlindinni hefur litið dagsins ljós og hefur hún verið afhent Kristjáni Þór Júlíussyni, sjávarútvegsráðherra. Einn stjórnarmeðlimur setur sérstakan fyrirvara við skýrsluna.
Kjarninn 10. júlí 2020
Pottersen
Pottersen
Pottersen – 39. þáttur: Naumlega sloppið!
Kjarninn 10. júlí 2020
Ingimundur Bergmann
Hótelhald, búfjárhald og pólitík
Kjarninn 10. júlí 2020
Páll Matthíasson, forstjóri Landspítalans.
„Allir eru á dekki“ við að tryggja áfram landamæraskimun
Starfsfólk Landspítalans hefur brugðist við „af ótrúlegri snerpu og atorku“ með það að markmiði að tryggja að skimun á landamærum geti haldið áfram eftir 13. júlí. „Allir eru á dekki,“ segir Páll Matthíasson, forstjóri spítalans.
Kjarninn 10. júlí 2020
Skiljum ekkert eftir
Skiljum ekkert eftir
Skiljum ekkert eftir – Börnin
Kjarninn 10. júlí 2020
Félag leikskólakennara skrifar undir nýjan kjarasamning
Þrjú aðildarfélög KÍ hafa skrifað undir kjarasamninga við samninganefnd Sambands íslenskra sveitarfélaga: Félag leikskólakennara, Skólastjórafélag Íslands og Félag stjórnenda leikskóla.
Kjarninn 10. júlí 2020
Farþegaskipið Boreal heldur frá Reykjavíkurhöfn á morgun. Það tekur um 200 farþega en í fyrstu siglingunni verða á bilinu 50 til 60 farþegar sem allir koma með flugi frá París á morgun.
Ekki fást upplýsingar um sóttvarnaráðstafanir frá umboðsaðila Boreal
Fyrsta farþegaskip sumarsins heldur frá Reykjavíkurhöfn á morgun. Starfsfólk skipafélags tjáir sig ekki um sóttvarnaráðstafanir sem gerðar hafa verið vegna farþega sem hyggjast sigla, en þeir koma með flugi frá París á morgun.
Kjarninn 10. júlí 2020
Farandverkamenn í haldi lögreglumanna í lok maí.
„Blaðamennska er ekki glæpur“
Yfirvöld í Malasíu hafa ítrekað yfirheyrt fréttamenn sem fjallað hafa um aðstæður farandverkamanna í landinu í faraldri COVID-19. Hópur fréttamanna Al Jazeera var yfirheyrður í dag vegna heimildarmyndar sem varpar ljósi á harðar aðgerðir gegn verkamönnum.
Kjarninn 10. júlí 2020
Meira úr sama flokkiEikonomics